E. Sonya and Ice Cream【树的直径+单调队列】-白红宇

E. Sonya and Ice Cream【树的直径+单调队列】

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发布时间：2019-03-08

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要解决从n个节点的树中选出k个连续顶点，使得这些顶点中的其他点到这k个点的最大距离最小，我们可以按照以下步骤进行优化和解决问题：

1. 计算树的直径

使用两次深度优先搜索（DFS）来确定树的直径。第一次DFS从任意一点出发，找到离该点最远的点u，作为直径的一端。第二次DFS从u出发，找到离u最远的点v，作为直径的另一端。

2. 计算各顶点到直径端点的距离

对于每个顶点，计算其到直径端点u和v的距离。这可以通过两次DFS完成：第一次从u出发，记录每个节点的距离；第二次从v出发，记录每个节点的距离。

3. 枚举直径上的连续k个顶点窗口

在直径上进行滑动窗口，求出所有长度为k的连续顶点窗口。每个窗口包括窗口的端点以及内部的k-2个顶点。

4. 使用单调队列计算窗口的最大值

将窗口的两个端点及预处理的直径距离存储在单调队列中，根据队列中的值维护当前窗口的最大距离。每次移动窗口时，更新队列以确保最大距离准确。

5. 表达最优解

根据分析，连续k个顶点窗口的最大距离等于窗口的两个端点到直径端点的距离的最大值。最终，最小最大距离即为直径窗口中各个可能窗口中的最大距离的最小值。

伪代码实现

#include 
   
    using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;const int MOD = 1e9 + 7;typedef vector
    
     
      > edgeType;vector
      
        edge;vector
       
         dis, maxsubtree, bet, a, sum;int par[N], vis[N], st, ed, diam[N], q;ll maxlen = 0, n, k;void dfs(int u, int f) {    par[u] = f;    for (auto &t : edge[u]) {        int v = t.first, w = t.second;        if (v != f && !vis[v]) {            dis[v] = dis[u] + w;            if (dis[v] > maxlen) maxlen = dis[v];            dfs(v, u);        }    }}void FindDiameter() {    dis = {0}, vis = {false};    DFS(1, -1);    int mx = -1, st = 1;    for (int i = 1; i <= n; i++) if (dis[i] > mx) {        mx = dis[i], st = i;    }    dis = {0}, vis = {false};    DFS(st, -1);    mx = -1, ed = 1;    for (int i = 1; i <= n; i++) if (dis[i] > mx) {        mx = dis[i], ed = i;    }    for (int i = ed; i; i = par[i]) {        diam[i] = dis[i];        dis[i] = 0;    }}void FindMaxlenToSubtree() {    k = min(k, (ll)diam.size());    for (int u : diam) vis[u] = 1;    for (int u : diam) {        maxlen = 0; dis[u] = 0;        DFS(u, -1);        maxsubtree.push_back(maxlen);        dis[u] = 0;    }}int main() {    cin >> n >> k;    for (int i = 1; i < n; i++) {        int u, v, w; cin >> u >> v >> w;        edge[u].push_back({v, w});        edge[v].push_back({u, w});    }    FindDiameter();    FindMaxlenToSubtree();    q = deque
        
         
          >(); for (int i = 0, j = 0; i <= (ll)diam.size() - k; i++) { while (j <= i + k - 1) { while (!q.empty() && maxsubtree[j] > q.back().first) q.pop_back(); q.push_back({maxsubtree[j], j}); j++; } while (q.front().second < i) q.pop_front(); ll current_max = q.front().first; if (current_max < ans) ans = current_max; if (i + k < diam.size()) { while (!q.empty() && maxsubtree[i + k] > q.back().first) q.pop_back(); q.push_back({maxsubtree[i + k], i + k}); } } cout << ans;}